Aritmética
Al igual que en otras áreas de la matemática, como el
álgebra o la
geometría,
el sentido de
«la aritmética»
ha ido evolucionando con el progresivo
desarrollo de las ciencias. Originalmente, la aritmética se desarrolla de
manera formal en la
Antigua
Grecia, con el refinamiento del rigor matemático y las
demostraciones, y su extensión a las distintas disciplinas de las «ciencias
naturales».
En la actualidad,
puede referirse a la
aritmética elemental, enfocada a la
enseñanza de la matemática básica; también
al conjunto que reúne el
cálculo aritmético
y las
operaciones
matemáticas, específicamente, las cuatro
operaciones
básicas
aplicadas ya sea a
números (naturales, fracciones, etc.) como a entidades matemáticas más
abstractas (matrices, operadores, etc); también a la así llamada
alta
aritmética,
mejor conocida como
teoría de números.
Operaciones aritméticas
Las cuatro operaciones básicas (o elementales) de la aritmética son:
En el sentido de la definición propuesta, el sustantivo «aritmética», en
los primeros grados de enseñanza escolar, suele designarse simplemente como
«matemática», la distinción comienza a precisarse con la introducción del álgebra
y la consiguiente implementación de
"letras" para representar "
variables" e "
incógnitas",
así como las definiciones de las propiedades algebraicas tales como
conmutatividad, asociatividad o distributividad, que son propias del
álgebra elemental.
De manera más general, el
cómputo
numérico incluye, además de
las operaciones básicas: el
cálculo de congruencias,
la
factorización, el
cálculo de
potencias y la
extracción de raíces.
En este sentido, el término aritmética
se aplica para designar operaciones realizadas sobre entidades que no son números
enteros solamente, sino que pueden ser decimales, racionales, etc., o incluso
objetos matemáticos con características completamente diferentes. El término
«aritmética» es utilizado también como adjetivo, como por ejemplo en una
progresión aritmética.
Instrumentos de cálculo
Historia
Origen
Los orígenes de la aritmética se pueden rastrear hasta los comienzos de la
matemática misma, y de la ciencia en general. Los registros más antiguos datan
de la
Edad de
Piedra: huesos, palos, piedras talladas y escarbadas con muescas,
presumiblemente con fines de conteo, de representación numérica y calendarios.
Edad
antigua
Hay evidencias de que los
babilonios tenían
sólidos conocimientos de casi todos los aspectos de la aritmética elemental
hacia 1800 a. C., gracias a transcripciones de
caracteres cuneiformes sobre tablillas de barro cocido,
referidas a problemas de geometría y astronomía. Solo se puede especular sobre
los métodos utilizados para generar los resultados aritméticos - tal y como se
muestra, por ejemplo, en la tablilla de arcilla Plimpton 322, que parece ser
una lista de
ternas pitagóricas, pero sin mostrar cómo se
generó la lista.
Los antiguos textos
Shulba-sutras (datados ca. 800 a.C y 200 a.C) recopilan
los conocimientos matemáticos de la India durante el período védico; constan de
datos geométricos relacionados con la construcción de altares de fuego, e
incluyen el problema de la
cuadratura del círculo
Otras civilizaciones
mesopotámicas,
como sirios y fenicios, alcanzaron grados de desarrollo matemático similar que
utilizaron tanto para el comercio como para la resolución de ecuaciones
algebraicas.
El sistema de numeración egipcio, basado en
fracciones unitarias, permitía efectuar cuentas
aritméticas avanzadas, como se muestra en papiros conservados como el
Papiro de Moscú o el
Papiro de
Ahmes (que data de ca.
1650 a. C., aunque es una copia de un antiguo texto de ca.
1850 a. C.) que muestra sumas, restas, multiplicaciones y divisiones,
utilizando un
sistema de fracciones, así como los problemas
de determinar el volumen de una esfera, o el volumen de una pírámide truncada.
El papiro de Ahmes es el primer texto egipcio que menciona los 365 días del
calendario egipcio, es el primer calendario
solar conocido.
Aritmética
formal en la Antigua Grecia
La aritmética en la Grecia Antigua era considerada como el estudio de las
propiedades de los números, y no incluía cálculos prácticos, los métodos
operatorios eran considerados una ciencia aparte. Esta particularidad fue
heredada a los europeos durante la
Edad Media,
y no fue hasta el
Renacimiento que la teoría de números y los métodos
de cálculo comenzaron a considerarse «aritméticos».
La matemática griega hace una aguda diferencia entre el concepto de número
y el de magnitud o
conmensurabilidad.
Para los antiguos griegos,
número
significaba lo que hoy se conoce por
número
natural, además de diferenciar entre «número» y «magnitud
geométrica». Los libros 7–9 de
Los elementos de
Euclides tratan de la aritmética exclusivamente
en este sentido.
Nicómaco de Gerasa (ca. 60 - 120 d. C.), en su
Introducción
a la Aritmética, resume la filosofía de
Pitágoras y de
Platónenfocada
a los números y sus relaciones fundamentales. Nicómaco hace por primera vez la
diferencia explícita entreMúsica,
Astronomía,
Geometría
y
Aritmética, y le da a esta última un
sentido más «moderno», es decir, referido a los
números enteros y sus propiedades fundamentales.
El
quadrivium (lat. "cuatro caminos"),
agrupaba estas cuatro disciplinas científicas relacionadas con la matemática
proveniente de la
escuela pitagórica.
Edad
Media y Renacimiento europeo
El mayor progreso matemático de los griegos se dio entre los años 300 a.C
y el 200 d.C. Después de esto los avances continuaron en regiones islámicas. La
matemática floreció en particular en Irán, Siria e India. Si bien los
descubrimientos no fueron tan sustanciales como los llevados a cabo por la
ciencia griega, sí contribuyeron en gran medida a preservar sus obras
originales. A partir del siglo XI,
Adelardo de
Bath y más adelante
Fibonacci,
introducen nuevamente en Europa esta matemática islámica y sus traducciones del
griego.
De las siete
artes
liberales en que se
organizaban los estudios formales en la Antigüedad y la Edad Media, la
aritmética era parte de las enseñanzas escolásticas y universitarias.
En 1202,
Fibonacci,
en su tratado
Liber Abaci,
introduce el
sistema de numeración decimal con
números arábigos. Las operaciones aritméticas,
aún las más básicas, realizadas hasta entonces con numerales romanos resultaban
muy complicadas; la importancia práctica en contabilidad hizo que las nuevas
técnicas aritméticas se popularizaran enseguida en Europa. Fibonacci llegó a
escribir que «comparado con este nuevo método, todos los demás habían sido
erróneos».
Civilizaciones
precolombinas
Al igual que otras civilizaciones
mesoamericanas,
los
mayas utilizaban un
sistema de numeración de base vigesimal (
base aritmética
20) para medir el tiempo y participar del comercio a larga distancia. Los mayas
preclásicos desarrollaron independientemente el
concepto del cero alrededor del año 36 a. C.
Aunque poseían sistema de numeración,
la ciencia maya y azteca estaba más enfocada en predecir el paso del tiempo,
elaborar calendarios y pronosticar eventos astronómicos. Las culturas andinas,
que no poseían sistema de escritura, sí parecen haber desarrollado más el
cálculo aritmético. Algunas inscripciones fijan con gran precisión el año solar
real en 365 días. Fueron las primeras civilizaciones en inventar el cero,
aunque con algunas peculiaridades que le privaron de posibilidad operatoria.
Los
incas se
destacaron principalmente por su capacidad de cálculo para fines económicos y
comerciales. Los
quipus y
yupanas fueron señal de la importancia que
tuvo la
administraciónincaica.
Esto dotó a los incas de una aritmética sencilla pero efectiva para fines
contables; basada en un
sistema
decimal, conocieron el cero y dominaron la suma, la resta, la
multiplicación y la división.
Aritmética
en Chin
La matemática china temprana es tan diferente a la de otras partes del
mundo, que es razonable suponer que se desarrolló independientemente. El texto
de matemáticas más antiguo que se conserva es el
Chou Pei Suan Ching (literalmente:
La
Aritmética Clásica del Gnomon y los Senderos Circulares del Cielo),
datado del 300 a.C.
De particular notoriedad es el uso de un sistema decimal
posicional,
la así llamada
numeración con varillas, utilizada muchos
siglos antes del sistema indoarábigo de numeración.
El sistema de numeración con varillas
permitía representar cantidades arbitrariamente grandes, y facilitaba el
cálculo matemático con
suanpan (o ábaco chino). La fecha de invención
del "suan pan" es incierta, pero los registros escrito más antiguos
que lo mencionan datan del año 190 a.C., en las «Notas Suplementarias en el
arte de las Figuras», de Xu Yue.
Aritmética
en la India: el cero y la notación posicional
La matemática hindú alcanzó su madurez durante los siglos I al VIII, con
el invento trascendental de la notación posicional empleando la cifra cero como
valor nulo. Utilizaron, como en Occidente, un sistema de numeración de base 10
(con diez dígitos). Egipcios, griegos y romanos, aunque utilizaban un sistema
decimal, este no era posicional, ni poseía el cero, el cual fue transmitido a
occidente mucho más tarde por los árabes, que le llamaban hesab,
a través de la España e Italia medievales.
El sistema de numeración decimal aparece ya en el Süryasiddhanta, pequeño
tratado que data probablemente del siglo VI. Los trabajos matemáticos de los
hindúes se incorporaron en general a las obras astronómicas. Este es el caso de
Aryabhata,
nacido hacia 476, y de
Brahmagupta,
nacido hacia 598. Hacia 1150,
Bhaskara escribió un tratado de aritmética en
el que exponía el procedimiento del cálculo de raíces cuadradas. Se trata de
una teoría de las ecuaciones de primer y segundo grado, no en forma geométrica,
como lo hacían los griegos, sino en una forma que se puede llamar
algebraica.
En el siglo VII, el obispo sirio Severo Sebhokt menciona este método con
admiración, indicando no obstante que el método indio iba más allá de esa
descripción. Las múltiples ventajas prácticas y teóricas del sistema de
«notación posicional con cero» dieron el impulso definitivo a todo el
desarrollo ulterior de la matemática. Los modernos algoritmos de cálculo fueron
posibles gracias a la introducción de los
números árabes y la
notación decimal posicional.
Aritmética
árabe
La matemática hindú, con el temprano desarrollo de la
notación posicional y uso del
cero, revistieron gran
importancia en el progreso matemático posterior. Esta herencia fue recogida por
los árabes, netamente con los trabajos de
al-Jwarizmi y las primeras traducciones de textos
griegos al árabe, incluyendo
los Elementos de Euclides realizada por al-Hajjaj.
En la
Casa de la sabiduría (Bayt al-Hikma, una institución de investigación y traducción
establecida en Bagdad), los científicos y matemáticos tradujeron las obras de
Euclides,
Diofanto,
Menelao,
Arquímedes,
Ptolomeo,
Apolonio entre otros clásicos de la ciencia
griega. Uno de los avances más significativos se da con los trabajos de
Abu Yafar
Mohamed ibn Musa al-Jwarizmi: el
álgebra,
que representaba un apartamiento
revolucionario del concepto geometricista de los griegos, permitiendo un
tratamiento distinto de los "objetos" tales como los números
racionales, los irracionales o las magnitudes geométricas, y una aplicación
sistemática de la aritmética al álgebra.
Abu Bekr ibn
Muhammad ibn al-Husayn al-Karaji, nacido en
953, es probablemente el
primero en liberar completamente al álgebra de las
operaciones
geométricas y
remplazarlas por el tipo de operaciones aritméticas que constituyen el corazón
del álgebra actual.
al-Samawal (nacido en
1130) fue el primero en
dar al nuevo tópico del álgebra una descripción precisa, cuando escribió que
ella se ocupaba
...de operar sobre las incógnitas usando
todas las herramientas aritméticas, de la misma forma que el aritmético opera
sobre lo conocido.
Thabit ibn
Qurra (nacido en
836), hizo múltiples
contribuciones en los más diversos campos de la matemática, en especial a la
teoría de números.
Tres distintos tipos de sistemas aritméticos se empleaban simultáneamente
alrededor del
siglo X:
la aritmética por
conteo con los dedos, con los numerales
enteramente escritos en palabras, era el método empleado por la comunidad
mercantil; el
sexagesimal, con los numerales denotados por
letras del alfabeto árabe, provenía de la matemática babilónica, y los
matemáticos del islam lo usaron principalmente para el trabajo astronómico; el
tercer sistema fue la aritmética de los numerales indios y las fracciones con
valor posicional decimal.
Alta aritmética
El término
aritmética
también hace referencia a la
teoría
de números, la cual desarrolla y profundiza las propiedades de los
números (enteros) relacionadas con su
primalidad,
divisibilidad y las
soluciones de ecuaciones en los enteros; en
particular, el «teorema fundamental de la aritmética» y las «funciones
aritméticas» se desarrollan dentro de este marco y este es el uso reflejado en
A
Course in Arithmetic
de
Jean-Pierre
Serre, o el que le da
Harold Davenport en frases como: "aritmética de
primer orden" o "alta aritmética".
·
La aritmética binaria y el álgebra de Boole, muy utilizadas en
informática, es el cálculo aritmético efectuado en un sistema de numeración
binario, y el álgebra resultante. Documentado por Leibniz, en el siglo XVII, en
su artículoExplication de
l'Arithmétique Binaire.
·
Teoremas de incompletitud de Gödel,
enunciados por Gödel en 1930, demuestra que ninguna teoría matemática formal
capaz de describir los números naturales y la aritmética con suficiente
expresividad, es a la vez consistente y completa.
El
Teorema Fundamental de la Aritmética
La
axiomatización de la aritmética
La teoría de conjuntos y en particular diversas paradojas relacionadas con
los
conjuntos
infinitos, así como los problemas derivados de la noción de cantidad
infinitesimal,
entre otros, llevaron a la llamada «crisis de los fundamentos» de la
matemática, a principios del siglo XX. En ese contexto,
David Hilbert y otros matemáticos colaboradores
propusieron el llamado
programa de Hilbert como respuesta al problema de los
fundamentos. Dicho programa pretendía librar de paradojas el trabajo matemático
mediante la formalización y la
axiomatización explícita de diversas ramas de la
matemática. En el caso de la aritmética, ya
Giuseppe
Peano había propuesto
los llamados «
axiomas de Peano» para la aritmética. Estos
axiomas, en la forma propuesta por Peano, no podían ser formalizados en un
sistema lógico de primer orden, aunque al
principio no se pensó que eso constituyera un problema, por lo que por algún
tiempo se trabajó en la fundamentación de la aritmética y la teoría de
conjuntos usando
lenguajes
formales de primer
orden; sin embargo, el programa de Hilbert sufriría un revés importante cuando
Kurt Gödel probó que la formalización de la
aritmética mediante un sistema de primer orden en el más puro estilo del
programa de Hilbert era problemático.
El
teorema de incompletitud de Gödel
En 1931,
Kurt Gödel demostró sus dos famosos
teoremas de incompletitud. El primer teorema se refiere a
una axiomatización de la aritmética como teoría de primer orden, donde el
conjunto de axiomas fuera recursivo (es decir, existiera un algoritmo que
permitiera decidir en un número finito de pasos si una proposición dada era o
no un axioma, ya que la formalización requiere un número infinito de axiomas,
todos ellos instancias de un número finito de esquemas de axioma). Este primer
teorema demostraba que aceptando que dicha teoría es
consistente entonces necesariamente debe ser
incompleta. Es decir, suponiendo que dicha
teoría no diera lugar nunca a contradicciones (consistencia) entonces siempre
habría una proposición tal que ni ella ni su contrario son demostrables.
Asumiendo esta interpretación, lo anterior se puede entender como que «existen
afirmaciones ciertas no deducibles dentro de la teoría». Gödel demostró este
teorema construyendo explícitamente una fórmula tal que ni esta ni su negación
fueran
demostrables. El segundo teorema de Gödel
es aún más ambicioso, Gödel probó que un conjunto de fórmulas dentro de un
lenguaje formal que formalizara la aritmética podía "gödelizarse", es
decir, representarse por un subconjunto de números enteros, tal que a cada
proposición del conjunto correspondía un único número y a cada número del
conjunto correspondía una proposición o fórmula. Este teorema asevera que la
consistencia de la propia aritmética es indemostrable dentro de la aritmética
ya que el conjunto de
números de Gödel asociado al conjunto de teoremas
demostrables no era representable dentro de la teoría como subconjunto
recursivo.
Aritmética
de segundo orden
Los teoremas de incompletitud tuvieron un efecto demoledor sobre el
programa de Hilbert, por lo que se buscaron generalizaciones más sofisticadas
para formalizar la aritmética. Si bien puede construirse un lenguaje de primer
orden para la aritmética que sea consistente y completo, pero a condición de
introducir un número infinito de axiomas adicionales y sin que el conjunto
añadido sea recursivo, lo cual carece de interés práctico ya que sería
imposible describir explícitamente ese conjunto de axiomas mediante algún
procedimiento algorítmico razonable. Por esa razón, se comenzó a trabajar sobre
la construcción de sistemas para formalizar la aritmética mediante
lenguajes formales de segundo orden. Puede
probarse que la llamada aritmética de segundo orden completa, admite un único
modelo que
en esencia puede identificarse con los números naturales formalizados menos
rigurosamente por los axiomas de Peano. Sin embargo, esa trivialidad del
conjunto de modelos de la teoría la hace poco interesante en muchos aspectos,
por esta razón se han buscado modelos de aritmética de segunda orden
lógicamente más débiles, con el fin de averiguar qué partes de la matemática
son formalizables utilizando un lenguaje formal más restrictivo. En la
actualidad se han construido un cierto número de lenguajes de segundo orden
para la aritmética, y el estudio de los mismos es importante en la llamada
matemática inversa que
busca averiguar cuál es sistema lógicamente más restrictivo que permite
formalizar ciertas áreas de la matemática.
