Ecuación
Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros,
en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas,
relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores
conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud pueda ser establecida a
través de las restantes ecuaciones de un sistema, o bien mediante otros
procesos. Las
incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que
se pretende hallar.
La variable representa
la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son constantes
conocidas. La igualdad planteada por una ecuación será cierta o falsa
dependiendo de los valores numéricos que tomen las incógnitas; se puede afirmar
entonces que una ecuación es una igualdad condicional, en la que sólo
ciertos valores de las variables (incógnitas) la hacen cierta.
Resolver una ecuación es encontrar su dominio
solución, que es el conjunto de valores de las incógnitas para los
cuales la igualdad se cumple. Por lo general, los problemas matemáticos pueden expresarse en forma de una o
más ecuaciones; sin
embargo no todas las ecuaciones tienen solución, ya que es posible que no
exista ningún valor de la incógnita que haga cierta una igualdad dada. En ese
caso, el conjunto de soluciones de la ecuación será vacío y se dice que la ecuación
no es resoluble. De igual modo, puede tener un único valor, o varios, o incluso infinitos valores, siendo cada uno de ellos una
solución particular de la
ecuación. Si cualquier valor de la incógnita hace cumplir la igualdad (esto es,
no existe ningún valor para el cual no se cumpla) la ecuación es en realidad
una identidad.
Uso de ecuaciones
La ciencia utiliza ecuaciones para enunciar de forma precisa
leyes; estas ecuaciones expresan relaciones entre variables. Así, en física, la
ecuación de la dinámica de Newton relaciona las variables fuerza F, aceleración
a y masa m: F = ma. Los valores que son solución de la ecuación anterior
cumplen la primera ley de la mecánica de Newton. Por ejemplo, si se considera
una masa m = 1 kg y una aceleración a = 1 m/s, la única solución de
la ecuación es F = 1 kg·m/s = 1 Newton, que es el único valor para la
fuerza permitida por la ley.
Ejemplos:
El campo de aplicación de las ecuaciones es inmenso, y por
ello hay una gran cantidad de investigadores dedicados a su estudio.
Tipos
de ecuaciones
Las ecuaciones pueden clasificarse según el tipo de
operaciones necesarias para definir las y según el conjunto de números sobre el
que se busca la solución. Entre los tipos más frecuentes están:
· De primer grado o lineales
· De segundo grado o cuadráticas
· Diofánticas o
diofantinas
· Racionales, aquellas en las que uno o ambos
miembros se expresan como un cociente de polinomios
· Ecuaciones trascendentes, cuando
involucran funciones no polinómicas, como las funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas,
etc.
Definición general
Dada una aplicación f : A → B y un elemento b del conjunto B, resolver
una ecuación consiste en encontrar todos los
elementos x ∈ A que verifican la expresión: f(x) = b. Al
elemento x se le llama incógnita.
Una solución de la ecuación es cualquier elemento a ∈ A que verifique f(a) = b.
El estudio de las ecuaciones depende de las características
de los conjuntos y la aplicación; por ejemplo, en el caso de las ecuaciones
diferenciales, los elementos del conjunto A son
funciones y la aplicación f debe incluir alguna de las derivadas
del argumento. En las ecuaciones matriciales, la incógnita es una matriz.
La definición que se ha dado incluye las ecuaciones de la
forma g(x) = h(x). «+»
denota la suma de funciones, entonces(B, +) es un grupo. Basta definir la aplicación f(x) = g(x) – h(x), con –h el inverso de h con respecto a la suma, para
transformar la ecuación en f(x) = 0.
Conjunto
de soluciones
Dada la ecuación f(x) = b, el conjunto de soluciones
de la ecuación viene dado por S = f–1(b), donde f–1 es la imagen inversa de f. Si S es el conjunto vacío, la ecuación no
es soluble; si tiene sólo un elemento, la ecuación tendrá solución única; y si S posee más de un elemento, todos ellos
serán soluciones de la ecuación.
En la teoría de ecuaciones diferenciales, no se trata sólo de
averiguar la expresión explícita de las soluciones, sino determinar si una
ecuación determinada tiene solución y esta es única. Otro caso en los que se
investiga la existencia y unicidad de soluciones es en los sistemas de ecuaciones lineales.
Casos
particulares
Una ecuación diofántica es aquella cuya solución sólo puede
ser un número entero, es decir, en este caso A ⊆ ℤ. Una ecuación funcional es aquella en la que algunas de las
constantes y variables que intervienen no son realmente números sino funciones;
y si en la ecuación aparece algún operador diferencial se llama ecuación diferencial. Cuando A es un cuerpo y f un polinomio, se tiene ecuación algebraica polinómica.
En un sistema de ecuaciones lineales,
el conjunto A es un conjunto de vectores reales y la
función es un operador lineal.
Existencia
de soluciones
En muchos casos, por ejemplo en las ecuaciones diferenciales,
una de las cuestiones más importantes es determinar si existe alguna solución,
es decir demostrar que el conjunto de soluciones no es el conjunto vacío. Uno
de los métodos más corrientes para lograrlo consiste en aprovechar que el
conjunto A tiene alguna topología.
No es el único: en los sistemas de ecuaciones reales, se recurre a técnicas
algebraicas para averiguar si el sistema tiene solución. No obstante, el
álgebra parece que carece de recursos siquiera para asegurar la existencia de
soluciones en las ecuaciones algebraicas: para asegurar que toda ecuación
algebraica con coeficientes complejos tiene una solución hay que recurrir al
análisis complejo y, por lo tanto, a la topología.
Ecuación
algebraica
x3y + 4x – y = 5 – 2xy
Definición
Se llama ecuación
algebraica con una incógnita
la ecuación que se reduce a lo que sigue
α0xn +
α1xn –
1 +
α2xn –
2 +
... + αn – 1x +
αn =
0.
donde n es un número entero positivo; α0, α1, α2,
..., αn –
1, αn se denominan coeficientes o parámetros de la ecuación y se toman dados; x se nombra incógnita y es buscada. El número n positivo se llama grado de la ecuación1 Para definir un número algebraico se
consideran como coeficientes, números racionales.
Propiedades de las ecuaciones
El axioma (Elemento básico de un sistema de lógica formal y
junto con las reglas de inferencia definen un sistema deductivo) fundamental de
las ecuaciones es que una ecuación se transforma en otra equivalente cuando se
ejecutan operaciones elementales iguales en ambos miembros. Es decir:
•Si a los dos miembros de una ecuación se les suma una misma
cantidad positiva o negativa, la igualdad subsiste.
•Si a los dos miembros de una ecuación se les resta una misma
cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.
•Si a los dos miembros de una ecuación se multiplican por una
misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.
•Si a los dos miembros de una ecuación se dividen por una
misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.
Al exponer las propiedades de la igualdad en su forma
general, para cualesquiera de los números reales a, b y c.
Si a = b entonces a + c = b + c
Si a = b entonces a – c = b – c
Si a = b entonces ac = bc
Si a = b entonces a/c = b/c siempre que c ≠ 0
Para todos los números reales a, b y c:
Propiedad reflexiva:
Si a = a. Ejemplo: 14 = 14x + 8 = x + 8
Propiedad simétrica:
Si a = b, entonces b = a. Ejemplo: Si x = 5,
entonces 5 = x. Si y = 2 + x, entonces 2 + x = y.
Propiedad transitiva:
Si a = b y b = c, entonces a = c. Ejemplo: Si x = a y a = 8b, entonces x = 8b. Si xy = 8z, y 8z = 32,
entonces xy = 32.
No hay comentarios.:
Publicar un comentario