Las funciones
En matemáticas,
se dice que una magnitud o cantidad es función de
otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda.
Por ejemplo el área A de
un círculo es
función de su radio r: el valor del área es proporcional al cuadrado del radio, A = π·r2.
Del mismo modo, la duración T de
un viaje de tren entre dos ciudades separadas por una distancia d de 150 km depende de la
velocidad v a la que
este se desplace: la duración es inversamente proporcional a la velocidad, d / v. A la primera magnitud (el área, la duración) se la denomina variable dependiente, y la cantidad de la
que depende (el radio, la velocidad) es la variable independiente.
En análisis matemático, el concepto general de función, aplicación omapeo se
refiere a una regla que asigna a cada elemento de un
primer conjunto un único elemento de un segundo conjunto (correspondencia matemática). Por ejemplo,
cada número entero posee un único cuadrado, que resulta ser un número
natural (incluyendo el cero):
...
|
−2 → +4,
|
−1 → +1,
|
±0 → ±0,
|
|
+1 → +1,
|
+2 → +4,
|
+3 → +9,
|
...
|
Esta asignación constituye una función entre el
conjunto de los números enteros Z y el conjunto de los números
naturales N. Aunque las funciones que manipulan números son las más
conocidas, no son el único ejemplo: puede imaginarse una función que a cada
palabra del español le asigne su letra inicial:
...,
|
Estación →
E,
|
Museo → M,
|
Arroyo →
A,
|
Rosa → R,
|
Avión → A,
|
...
|
Esta es una función entre el conjunto de las palabras
del español y el conjunto de las letras del alfabeto español.
La manera habitual de denotar una función f es:
f: A → B
a → f(a),
donde A es
el dominio de la función f, su primer conjunto o conjunto de partida; y Bes el codominio de f, su segundo conjunto o conjunto de llegada. Por f(a) se denota la regla o algoritmo para
obtener la imagen de un cierto objeto
arbitrario adel dominio A, es decir, el (único) objeto de B que le corresponde. En
ocasiones esta expresión es suficiente para especificar la función por
completo, infiriendo el dominio y codominio por el contexto. En el ejemplo
anterior, las funciones «cuadrado» e «inicial», llámeseles f y g, se denotarían entonces como:
f: Z → N
k → k2, o sencillamente f(k) = k2;
g: V → A
p → Inicial de p;
si se conviene V = {Palabras del español} y A = {Alfabeto español}.
Una función puede representarse de diversas formas:
mediante el citado algoritmo o ecuaciones para
obtener la imagen de cada elemento, mediante una tabla de valores que empareje
cada valor de la variable independiente con su imagen —como las mostradas
arriba—, o como una gráfica que dé una imagen de la
función.
Historia
Gottfried
Leibniz acuñó el término «función» en el siglo XVII.
El concepto de función como un objeto matemático
independiente, susceptible de ser estudiado por sí solo, no apareció hasta los
inicios del cálculo en el siglo XVII.1 René
Descartes, Isaac Newton y Gottfried
Leibniz establecieron la idea de función como dependencia entre
dos cantidades variables. Leibniz en particular acuñó los términos «función»,
«variable», «constante» y «parámetro». La notación f(x) fue
utilizada por primera vez por A.C. Clairaut, y por Leonhard
Euler en su obra Commentarii
de San petersburgo en 1736.
Inicialmente, una función se identificaba a efectos
prácticos con una expresión analítica que permitía calcular sus valores. Sin
embargo, esta definición tenía algunas limitaciones: expresiones distintas
pueden arrojar los mismos valores, y no todas las «dependencias» entre dos
cantidades pueden expresarse de esta manera. En 1837 Dirichlet propuso
la definición moderna de función numérica como una correspondencia cualquiera
entre dos conjuntos de números, que asocia a cada número en el primer conjunto
un único número del segundo.
La intuición sobre el concepto de función también
evolucionó. Inicialmente la dependencia entre dos cantidades se imaginaba como
un proceso
físico, de modo que su expresión algebraica capturaba la ley física que
correspondía a este. La tendencia a una mayor abstracción se vio reforzada a
medida que se encontraron ejemplos de funciones sin expresión analítica o
representación geométrica sencillas, o sin relación con ningún fenómeno
natural; y por los ejemplos «patológicos» como funciones continuas sin derivada en ningún punto.
Durante el siglo XIX Julius Wilhelm Richard Dedekind, Karl
Weierstrass, Georg Cantor,
partiendo de un estudio profundo de los números reales,
desarrollaron la teoría de
funciones, siendo esta teoría independiente del sistema de numeración empleado.[cita requerida] Con
el desarrollo de la teoría de conjuntos, en los siglos XIX y XX surgió
la definición actual de función, como una correspondencia entre dos conjuntos
de objetos cualesquiera, no necesariamente numéricos. También
se asoció con otros conceptos vinculados como el de relación binaria.
Introducción
Representación gráfica de la velocidad de
un cuerpo acelerado a 0,66 m/s2.
Una función es un objeto matemático que se utiliza
para expresar la dependencia entre dos magnitudes, y puede presentarse a través
de varios aspectos complementarios. Un ejemplo habitual de función numérica es
la relación entre la posición y el tiempo en
el movimiento de un cuerpo.
Un móvil que se desplaza con una aceleración de
0,66 m/s2 recorre una distancia d que está en función del tiempo transcurrido t. Se dice que d es la variable dependiente de t, la variable independiente. Estas magnitudes,
calculadas a priori o medidas en un experimento, pueden consignarse de varias
maneras. (Se supone que el cuerpo parte en un instante en el que se conviene
que el tiempo es t =
0 s.)
Los valores de las variables pueden recogerse en una tabla, anotando la
distancia recorrida d en
un cierto instante t, para
varios momentos distintos:
Tiempo t (s)
|
Distancia d (m)
|
0,0
|
0,0
|
0,5
|
0,1
|
1,0
|
0,3
|
1,5
|
0,7
|
2,0
|
1,3
|
2,5
|
2,0
|
La gráfica en la imagen es una manera
equivalente de presentar la misma información. Cada punto de la curva roja
representa una pareja de datos tiempo-distancia, utilizando la correspondencia
entre puntos y coordenadas del plano
cartesiano. También puede utilizarse un regla o algoritmo que
dicte como se ha de calcular d a
partir de t. En este caso,
la distancia que recorre un cuerpo con esta aceleración está dada por la
expresión:
d = 0,33 × t2,
donde las magnitudes se expresan unidades del SI. De estos tres modos se
refleja que existe una dependencia entre ambas magnitudes.
Una función también puede reflejar la relación de una
variable dependiente con varias variables independientes. Si el cuerpo del
ejemplo se mueve con una aceleración constante pero indeterminada a, la distancia recorrida es una
función entonces de a y t; en particular, d = a·t2/2.
Las funciones también se utilizan para expresar la dependencia entre otros
objetos cualesquiera, no solo los números. Por ejemplo, existe una función que
a cada polígono le asigna su número de lados; o una función que a cada día de la semana le asigna el
siguiente:
Lunes → Martes, Martes → Miércoles,..., Domingo →
Lunes
Definición
La definición general de función hace
referencia a la dependencia entre los elementos de dos conjuntos dados.
Dados dos conjuntos A y B, una función (también aplicación o mapeo)
entre ellos es una asociación f que a cada elemento de A le asigna un único elemento de B.
Se dice entonces que A es el dominio (también conjunto de partida o conjunto inicial) de f y que B es su codominio (también conjunto de llegada o conjunto final).
|
Un objeto o valor genérico a en el dominio A se denomina la variable independiente; y un objeto
genérico b del
dominio Bes la variable dependiente. También se les
llama valores de entrada y de salida, respectivamente. Esta
definición es precisa, aunque en matemáticas se utiliza una definición
formal más rigurosa, que construye las funciones como un objeto
concreto.
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