Lógica matemática
La lógica
matemática es
una parte de la lógica y la matemática,
que consiste en el estudio matemático de la lógica, y en la aplicación de dicho
estudio a otras áreas de la matemática y de las ciencias. La lógica matemática
tiene estrechas conexiones con las ciencias de la computación y la lógica filosófica.
La lógica matemática estudia los sistemas
formales en
relación con el modo en el que codifican o definen nociones
intuitivas de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones, y algoritmos,
utilizando un lenguaje
formal.
La lógica matemática suele dividirse en cuatro subcampos: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. La
investigación en lógica matemática ha jugado un papel fundamental en el estudio
de los fundamentos de las matemáticas.
Actualmente se usan indiferentemente como sinónimos las expresiones:
lógica simbólica (o logística), lógica matemática, lógica teorética y lógica
formal.
La lógica matemática no es la «lógica de las matemáticas» sino la
«matemática de la lógica». Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser
modeladas y estudiadas matemáticamente.
Historia
Siglo
XIX
Previamente ya se hicieron algunos intentos de tratar las operaciones
lógicas formales de una manera simbólica por parte de algunos filósofos
matemáticos como Leibniz y Lambert, pero su labor permaneció
desconocida y aislada.
A partir de la segunda mitad del siglo XIX, la lógica sería revolucionada
profundamente. En 1847, George
Boole publicó
un breve tratado titulado El análisis matemático de la lógica,
y en 1854 otro más importante titulado Las leyes del pensamiento. La idea de
Boole fue construir a la lógica como un cálculo en el que los valores
de verdad se
representan mediante el 0 (falsedad) y el 1 (verdad), y a los que se les
aplican operaciones matemáticas como la suma y la multiplicación.
Al mismo tiempo, Augustus De Morgan publica en 1847 su
obra Lógica formal, donde introduce las leyes de De Morgan e intenta generalizar
la noción de silogismo. Otro importante contribuyente inglés fue John Venn,
quien en 1881 publicó su libro Lógica Simbólica, donde introdujo los
famosos diagramas
de Venn.
Sin embargo, la verdadera revolución de la lógica vino de la mano de Gottlob
Frege, quien frecuentemente es considerado como el lógico más importante de
la historia, junto con Aristóteles. En su trabajo de 1879, la Concepto grafía, Frege ofrece por
primera vez un sistema completo de lógica de predicados y cálculo proposicional. También
desarrolla la idea de un lenguaje formal y
define la noción de prueba. Estas ideas constituyeron una base
teórica fundamental para el desarrollo de las computadoras y las ciencias de la computación, entre otras
cosas. Pese a esto, los contemporáneos de Frege pasaron por alto sus
contribuciones, probablemente a causa de la complicada notación que desarrolló
el autor. En 1893 y 1903, Frege publica en dos volúmenes Las leyes de la aritmética, donde
intenta deducir toda la matemática a partir de la
lógica, en lo que se conoce como el proyecto
logicista. Su sistema y su aplicación a la teoría de conjuntos, sin embargo, contenían una
contradicción (la paradoja de Russell).
Lógica matemática fue el nombre dado
por Giuseppe
Peano para
esta disciplina. En esencia, es la lógica de Aristóteles,
pero desde el punto de vista de una nueva notación, más abstracta, tomada del álgebra.
Siglo
XX
El siglo XX sería uno de enormes desarrollos en lógica. A partir del siglo
XX, la lógica pasó a estudiarse por su interés intrínseco, y no sólo por sus
virtudes como propedéutica,
por lo que se estudió a niveles mucho más abstractos.
En 1910, Bertrand
Russell y Alfred North Whitehead publican Principia mathematica, un trabajo
monumental en el que logran gran parte de la matemática a partir de la lógica,
evitando caer en las paradojas en las que cayó Frege. Los autores reconocen el
mérito de Frege en el prefacio. En contraste con el trabajo de Frege, Principia mathematica tuvo un éxito
rotundo, y llegó a considerarse uno de los trabajos de no ficción más
importantes e influyentes de todo el siglo XX. Principia mathematica utiliza
una notación inspirada en la de Giuseppe
Peano, parte de la cual todavía es muy utilizada hoy en día.
En 1912 C. I. Lewis publica Conditionals and the Algebra of Logic,
justo después de los Principia Mathematica de Russell y
Whitehead. En 1918 publica A Survey of Symbolic Logic en donde propone un
nuevo condicional más adecuado para recoger el significado de la expresión
"si... entonces" del lenguaje natural. Lewis lo llama implicación estricta. El nuevo condicional
requiere, para ser verdadero, una relación más fuerte entre el antecedente y el
consecuente que el condicional clásico.
En 1920 David
Hilbert propuso
de forma explícita un proyecto de investigación (en metamatemática,
como se llamó entonces) que acabó siendo conocido como programa de Hilbert. Quería que la matemática fuese formulada sobre
unas bases sólidas y completamente lógicas.
El origen de los modelos abstractos de computación se encuadra en los
años '30 (antes de que existieran los ordenadores modernos), en el trabajo de
los lógicos Alonzo
Church, Kurt
Gödel, Stephen
Kleene, Emil
Leon Post, Haskell
Curry y Alan
Turing. Estos trabajos iniciales han tenido una profunda influencia, tanto
en el desarrollo teórico como en abundantes aspectos de la práctica de la
computación; previendo incluso la existencia de ordenadores de propósito
general, la posibilidad de interpretar programas, la dualidad entre software y hardware,
y la representación de lenguajes por estructuras formales basados en reglas de
producción.
La deducción natural fue introducida por Gerhard
Gentzen en
su trabajo Investigaciones sobre la inferencia lógica
(Untersuchungen über das logische Schliessen), publicado en 1934-1935.
En los años 40 Alfred
Tarski comenzó
a desarrollar junto a sus discípulos el álgebra relacional, en la que pueden expresarse
tanto la teoría axiomática de conjuntos como la aritmética
de Peano. También desarrolló junto a sus discípulos las álgebras cilíndricas, que
son a la lógica de primer orden lo que el álgebra booleana a
la lógica proposicional. En 1941 publicó en
inglés uno de los manuales de lógica más acreditados, Introduction to Logic and to the Methodology
of Deductive Sciences.
Noam
Chomsky en
1956 propone una clasificación jerárquica de distintos tipos de gramáticas formales que generan lenguajes
formales llamada jerarquía de Chomsky.
Si bien a la luz de los sistemas contemporáneos la lógica aristotélica puede parecer
equivocada e incompleta, Jan Łukasiewicz mostró
que, a pesar de sus grandes dificultades, la lógica aristotélica era
consistente, si bien había que interpretarse como lógica de clases, lo cual no es pequeña
modificación. Por ello la silogística prácticamente no tiene uso actualmente.
Además de la lógica proposicional y la lógica de predicados, el siglo XX
vio el desarrollo de muchos otros sistemas lógicos; entre los que destacan las
muchas lógicas
modales.
Concepto de lógica matemática
La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo
en el que codifican conceptos intuitivos de objetos matemáticos como conjuntos,
números, demostraciones y computación. La lógica estudia las reglas de
deducción formales, las capacidades expresivas de los diferentes lenguajes
formales y las propiedades metalógicas de los mismos.
En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para
determinar si es o no válido un argumento dado dentro de un determinado sistema
formal. En un nivel avanzado, la lógica matemática se ocupa de la posibilidad
de axiomatizar las teorías matemáticas, de clasificar su capacidad expresiva, y
desarrollar métodos computacionales útiles en sistemas formales. La teoría de la demostración y la matemática inversa son dos de los razonamientos
más recientes de la lógica matemática abstracta. Debe señalarse que la lógica
matemática se ocupa de sistemas formales que pueden no ser equivalentes en
todos sus aspectos, por lo que la lógica matemática no es método de descubrir
verdades del mundo físico real, sino sólo una fuente posible de modelos lógicos
aplicables a teorías científicas, muy especialmente a la matemática
convencional.
La lógica matemática no se encarga por otra parte del concepto de
razonamiento humano general o del proceso creativo de construcción de
demostraciones matemáticas mediante argumentos rigurosos pero hechos usando
lenguaje informal con algunos signos o diagramas, sino sólo de demostraciones y
razonamientos que pueden ser completamente formalizados en todos sus aspectos.
Sistemas lógicos
La lógica matemática se interesa por tres tipos de aspectos de los sistemas
lógicos:
La sintaxis de los lenguajes
formales, es decir, las reglas de formación de símbolos interpretables
construidos a partir de un determinado alfabeto, y las reglas de inferencia. En
concreto el conjunto de teoremas deducibles de un conjunto de axiomas.
La semántica de
los lenguajes formales, es decir, los significados atribuibles a un conjunto de
signos, así como el valor de verdad atribuible a algunas de las proposiciones.
En general las expresiones de un sistema formal interpretadas en un modelo son
ciertas o falsas, por lo que un conjunto de proposiciones que admite un modelo
es siempre consistente.
Los aspectos
metalógicos de los lenguajes
formales, como por ejemplo la completitud semántica, la consistencia, la compacidad o
la existencia de modelos de cierto tipo, etc.
Los diferentes tipos de sistemas lógicos pueden ser clasificados en:
Lógica proposicional (Lógica de orden cero): En ella existe
símbolos para variables proposicionales (que pueden ser interpretados
informalmente como enunciados que pueden ser ciertos o falsos) además de
símbolos para diversas conectivas. Estas conectivas permiten formar
expresiones complejas a partir de variables proposicionales simples. Un sistema
lógico puede incluir diversos tipos de conectivas, entre ellos, la lógica
clásica suele hacer uso de los siguientes:
¬ se lee “no”
∧
se lee “y”
∨
se lee “o”
→ se lee “…implica…” o “si,…entonces…,”
↔ se lee “…equivalente con…” o "…si, sólo
sí…"
Dentro de la lógica
proposicional pueden distinguirse varios tipos, por ejemplo restringiendo las
posibilidades de interpretación semántica se obtiene la lógica intuicionista y ampliando la complejidad de las
interpretaciones semánticas se obtienen las lógicas
modales.
Lógica de predicados: Esta no
incluye símbolos para variables proposicionales sino que las proposiciones más
elementales son predicados atómicos (formados a partir de variables
interpretables como objetos singulares, relaciones(entre estas frecuentemente se usan =
, <, >, etc), funciones matemáticas. Además símbolos para
representar variables, relaciones y funciones este tipo de lógicas incluyen cuantificadores.
Dentro de la lógica de predicados se pueden distinguir ciertos tipos:
Lógica de primer orden que usualmente
es finitaria (sólo se admiten proposiciones formadas mediante un número finito
de pasos) aunque también existen lógicas infinitarias.
Teorías axiomáticas
Una teoría axiomática está
formada por un conjunto de proposiciones expresables en un determinado lenguaje
formal y
todas las proposiciones deducibles de dichas expresiones mediante las reglas de
inferencia posibles en dicho sistema lógico.
El objetivo de las teorías axiomáticas es construir sistemas lógicos que
representen las características esenciales de ramas enteras de las matemáticas.
Si se selecciona un conjunto más amplio o menos amplio de axiomas el conjunto
de teoremas deducibles cambian. El interés de la teoría de modelos es que en un modelo
en que satisfagan los axiomas de determinada teoría también se satisfacen los
teoremas deducibles de dicha teoría. Es decir, si un teorema es deducible en
una cierta teoría, entonces ese teorema es universalmente válido en todos los
modelos que satisfacen los axiomas. Esto es interesante porque en principio la
clase de modelos que satisface una cierta teoría es difícil de conocer, ya que
las teorías matemáticas interesantes en general admiten toda clase infinita de
modelos no isomorfos, por lo que su clasificación en general resulta
difícilmente abordable si no existe un sistema lógico y un conjunto de axiomas
que caracterice los diferentes tipos de modelos.
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